jueves, 11 de agosto de 2011

Lógica Formal


Lenguaje formal

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras mayúscula del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario.
Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable p o q, o r, o s.
Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman funtores, juntores, conectivas u operadores lógicos.
Cuando el funtor afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador ( \bar{ }  ) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, \bar{ p} , «no p». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los funtores más importantes son:
[\land   ] Conjuntor , «y» en el lenguaje natural.
[\lor   ] Disyuntor , «o».
[\to   ] Condicional, «si... entonces».
[\leftrightarrow   ] Bicondiconal, «si y sólo si... entonces».
[ \underline{\lor   }] Disyunción exclusiva, «o... o», una proposición excluye a la otra.

El negador además de ser un funtor monádico —es decir que afecta a una variable—, puede ser poliádico, cuando afecta a más de una variable o a una expresión entera.
Hay que tener siempre en cuenta, que las variables simbolizan oraciones enteras y no sólo palabras o nombres:
Ejemplos de simbolización de oraciones, del lenguaje natural al lenguaje formal:
  1. La conjunción: [ p  \land  q ] «Juan juega y Pedro estudia».
  2. La disyunción: [ p  \lor  q ] «Llueve o nieva».
  3. El condicional: [ p \to  q ] «Si estudias entonces aprendes».
  4. El bicondicional: [ p \leftrightarrow q ] «Si y sólo si tienes dieciocho años puedes votar».
  5. La disyunción exclusiva: [ p  \underline{\lor} q ] «O te quedas o te vas».
  6. La negación: [ \bar{p} ] «Manolo no juega limpio».
A veces el negador puede afectar a más de una variable o a la conjunción, o disyunción de ambas:
[\overline{p \lor q}   ] «Es falso que estudies o trabajes».

El razonamiento o inferencia

Hasta aquí hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahora vamos a observar la relación interna de las proposiciones y el modo de progresar en el conocimiento, obteniendo conclusiones a partir de proposiciones ya conocidas. Es el razonamiento o inferencia.
Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidas llamadas premisas a otra nueva llamada conclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de modo que para que el razonamiento esté bien construido tiene que haber una relación de necesidad entre las premisas y la conclusión. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por ejemplo, cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y es en ese momento cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones anteriores o premisas:
"Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo".
La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusión.

En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo [\vdash ] que se lee "luego".
El razonamiento anterior se simboliza:

1.p \to    q( primera premisa )
2.p( segunda premisa )
\vdash q(conclusión)
Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo si digo:
"Todos los burros vuelan".

"Platero es un burro".

Luego "Platero vuela".
El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porque está bien construido. A la lógica sólo le importa la validez formal.
Otro ejemplo descabellado puede ser:
"La tierra está formada de plastilina".

"Mi brazo forma parte de la tierra".

Luego "Mi brazo está formado de plastilina".

El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica busca que la conclusión se derive necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho.
Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que sean verdaderos materialmente y válidos formalmente, por ejemplo:
"Quien no se presente a examen, suspenderá".

"Pepa no se ha presentado".

Luego "Pepa suspende". 
En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones lógicas que existen entre ellas.
Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido cuando la conclusión no se deriva de las premisas.
Ejemplos de razonamiento:

1. p\to q      2.p\to q   3. p\to q   4. p\to q   
pq\bar p\bar q
\vdash q \vdash p\vdash \bar q\vdash \bar p

También pueden escribirse: p\to qp \vdash  qp\to qq +\vdash p etc.